Статьи по Assembler




Догадка гольдбаха (версия 2.1) - часть 3


В примере с числом 78 на этом этапе подлежат исключению 4 пары: 1+77 5+73 7+71 11+67 13+65 17+61 19+59 23+55 25+53 29+49 31+47 35+43 37+41.

Остается 9 пар: 1+77 5+73 7+71 11+67 17+61 19+59 29+49 31+47 37+41.

Предлагаемая оценка дает значение 2.3, что меньше фактического числа оставшихся пар и согласуется с принятой методикой доказательства.

(Следует обратить внимание на наличие в числе остающихся пары 5+73. Она не подлежит исключению на этом этапе, так как число 5 - простое.)

На следующем шаге исключаются пары, которые содержат числа, делимые на 7. После этого в наихудшем случае остается количество пар, описываемое выражением:

В примере с числом 78 на этом этапе подлежат исключению 2 пары: 1+77 5+73 7+71 11+67 17+61 19+59 29+49 31+47 37+4.

Остается 7 пар: 5+73 7+71 11+67 17+61 19+59 31+47 37+41.

Предлагаемая оценка дает значение ~0.643, что меньше фактического числа оставшихся пар. Вместе с тем это число меньше 1, то есть наличие пар простых слагаемых для числа 78 нашим доказательством не гарантируется (оно подтверждено эмпирически). Однако это еще не значит, что доказательство неверно.

Все числа в полученных парах - простые, так как использованное на этом шаге число 7 является наибольшим простым числом, меньшим, чем квадратный корень из 78. Дальнейшие итерации для числа 78 выполнять нет необходимости.

Обобщая сказанное выше, каждому E можно сопоставить значение, величина которого никогда не превысит фактическое количество пар простых чисел:


где PE - наибольшее простое число, удовлетворяющее условию

Работу этого выражения можно проиллюстрировать предлагаемой программой. Программа работает в броузерах, поддерживающий JavaScript и фреймы. Она моделирует процесс отсева пар, содержащих не простые числа. При этом вычисляется оценка количества остающихся пар на каждом шаге отсева (step SE[i]) и накопленная оценка (partial SE(i)). Пробуя различные E, можно убедиться, что ни та, ни другая оценка не превышают реального количества остающихся пар.

Очевидно, значения SE образуют последовательность на множестве простых чисел. В контексте доказательства достаточно выполнить ее анализ, пользуясь расчетом. Видно, что значения SE, начиная с некоторого момента, устойчиво превышают 1 и возрастают. В точках, где вступает в силу новое PE, наблюдаются отрицательные девиации значений последовательности SE. Эти девиации обусловлены тем, что в этих точках в выражении для SE появляется новый множитель (PE-2)/PE и вычитается еще одна единица. Но их влияние с ростом E, очевидно, постоянно уменьшается, поскольку E возрастает линейно, а их появление обусловлено корнем квадратным из E, и, кроме того, (PE-2)/PE стремится к 1. Следовательно, начиная с некоторого момента, девиации никогда не станут настолько велики, чтобы значение SE стало меньше 1.




Содержание  Назад  Вперед